Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика»

^ Теория чисел
Предмет курса; лаконичный исторический обзор развития теории чисел; главные направления исследовательских работ и главные способы; воздействие теории чисел на развитие других разделов арифметики; применение теоретико-числовых результатов в арифметике и ее приложениях; роль Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» российских и русских математиков в развитии теории чисел; обыкновенные числа: характеристики делимости целых чисел; обыкновенные числа; решето Эратосфена; аксиома Евклида о бесконечности огромного количества обычных чисел; основная аксиома математики о разложении Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» целых чисел на обыкновенные сомножители; больший общий делитель и меньшее общее кратное; некие личные случаи аксиомы Дирихле о бесконечности огромного количества обычных чисел в арифметической прогрессии; арифметические функции; целая и Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» дробная часть числа; разложение числа n! на обыкновенные множители; суммы, всераспространенные на делители числа; мультипликативные функции; функция Эйлера и ее характеристики; сумма делителей и число делителей; оценки Чебышева для функции числа обычных Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» чисел, не превосходящих х; цепные дроби; конечные цепные дроби; подходящие дроби и их характеристики; нахождение большего общего делителя при помощи цепных дробей; нескончаемые цепные дроби; разложение реальных чисел в цепные дроби; приближение реальных чисел Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» оптимальными числами; подходящие дроби как лучшие приближения; признак иррациональности числа; иррациональность числа «е»; аксиома Лагранжа о разложении квадратичных иррациональностей в цепные дроби; числовые сопоставления: сопоставления и их главные характеристики; вычеты и классы Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» вычетов по модулю m; кольца классов вычетов; полная система вычетов; приведенная система вычетов; аксиома Эйлера и Ферма; сопоставления первой степени: сопоставления с одним неведомым; равносильные сопоставления; решения сопоставления; сопоставления первой степени; аксиома о Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» существовании решений; простые приемы решений; решение сравнений при помощи цепных дробей; системы сравнений, их решения; аксиомы о решении систем сравнений первой степени; сопоставления n-ой степени: сопоставления n-ой степени по Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» обычному модулю; аксиомы о равносильности сравнений; аксиома о числе решений сопоставления; аксиома Вильсона; сопоставления n-ой степени по составному модулю; сведение сопоставления по составному модулю к системе сравнений по обычному модулю; сопоставления 2-ой Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» степени: сведение сравнений 2-ой степени к двучленному сопоставлению; двучленные сопоставления по обычному модулю; квадратичные вычеты и невычеты; число решений сопоставления; аспект Эйлера для квадратичных вычетов и невычетов; знак Лежандра Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» и его характеристики; закон взаимности квадратичных вычетов; сопоставления 2-ой степени по составному модулю; первообразные корешки и индексы; показатель числа по модулю m; характеристики характеристик; аксиома о существовании первообразного корня по обычному модулю; первообразные корешки по Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» модулям р и 2р; аксиома об отыскании первообразных корней; индексы по модулям р и 2р; таблицы индексов; двучленные сопоставления n-ой степени; существование решений; степенные вычеты и невычеты n-ой и степени Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика»; число степенных вычетов; аспект для отыскания степенных вычетов; решение двучленных сравнений при помощи вычетов; решение показательных сравнений; условие принадлежности числа показателю и, а именно, к классу первообразных корней; число классов принадлежащих показателю Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика»; число классов первообразных корней; арифметические приложения теории сравнений: отыскание остатков от деления некого числа на данное число; установление признаков делимости чисел; понятие об алгебраических и непознаваемых числах: алгебраические и непознаваемые числа; аксиома Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Лиувилля о приближении алгебраических чисел оптимальными числами; существование непознаваемых чисел.

117

ОПД.Р.00

Региональный (вузовский) компонент, в том числе дисциплины по выбору студента

500

ОПД.Р.1

Афинные преобразования

Понятие аффинной системы координат и ее связь Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» с прямоугольной декартовой. Аффинная система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат. Ориентация места. Формулы преобразования координат в пространстве. Векторное произведение векторов. Площадь треугольника. Смешанное произведение векторов. Объем тетраэдра. Преобразование Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» места. Аффинные преобразования. Движения. Подобия. Параллельный перенос. Поворот. Симметрии относительно точки, прямой и плоскости. Проективная плоскость. Понятие проективной плоскости. Модели проективной плоскости. Однородные координаты. Полосы второго порядка в однородных координатах. Проективная система координат Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Проективные преобразования. Проективная систематизация линий второго порядка.

100

ОПД.Р.2

Эконометрика

История сотворения и развития эконометрики. Главные понятия и особенности эконометрического способа. Связь эконометрики с другими дисциплинами. Способы исследования эконометрики и принципы их использования Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Простые модели и этапы построения и сопровождения эконометрических исследовательских работ. Введение в эконометрический анализ, главные его категории и понятия. Понятие действия и случайных величин. Числовые свойства дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика», среднее квадратичное отклонение, методы их оценок. Требования несмещенности, эффективности и состоятельности при характеристике числовых оценок случайных величин. Ковариация, механизм и правила ее расчета. Виды выборочной дисперсии, правила ее расчета. Механизм проведения дисперсионного Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» анализа. Эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Понятие корреляции. Типы связей. Черта и методика расчета парных, личных коэффициентов корреляции и коэффициента множественной корреляции. Эконометрические модели и трудности их оценки

Понятие Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» модели, ее суть. Типы моделей: модели временных рядов (модели тренда и сезонности), регрессионные модели с одним уравнением (линейные и нелинейные), системы одновременных уравнений (пример модели спроса и предложения). Понятие эндогенных и экзогенных Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» переменных. Структурные и приведенные формы моделей (пример модели формирования дохода). Спецификация модели. Процедура пошагового отбора переменных в исследуемую модель. Идентифицируемость модели. Эконометрический анализ построения двумерной регрессионной модели. Модель парной линейной регрессии. Построение парной линейной Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» регрессии способом меньших квадратов. Качество оценивания модели парной регрессии. Характеристики и оценка характеристик линейного уравнения регрессии. Проверка гипотез о значимости регрессионной модели и проверка значимости ее характеристик. Оценка значимости коэффициента корреляции. Аспекты Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Стьюдента и Фишера. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии. Построение доверительных интервалов для предсказуемых значений. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии. Средняя ошибка аппроксимации. Нелинейная регрессия. Схема внедрения способа меньших квадратов в нелинейных моделях Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Системы обычных уравнений для нелинейных моделей. Корреляция для нелинейной регрессии. Эконометрическая модель многомерной регрессии. Модель множественной регрессии. Спецификация переменных в моделях множественной регрессии. Процедура пошагового отбора переменных. Отбор причин при Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» построении множественной регрессии. Матрица парных корреляций. Понятие мультиколлинеарности. Выбор формы уравнения множественной регрессии. Личные уравнения регрессии. Характеристики, финансовая интерпретация и оценка коэффициентов уравнения множественной регрессии. Определение оценки надежности результатов множественной регрессии Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» и корреляции. Проверка общего свойства уравнения регрессии и выполнимости предпосылок способа меньших квадратов. Статистика Дарбина-Уотсона. Понятие гетероскедастичности и автокорреляции. Стохастические и инструментальные переменные. Черта ошибок измерения. Фиктивные переменные во множественной регрессии Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Нелинейные модели множественной регрессии. Прогнозирование в моделях множественной регрессии. Способы оценивания характеристик эконометрических моделей Понятие и финансовая суть оценки характеристик эконометрических моделей. Оценка способом меньших квадратов. Предпосылки внедрения способа меньших квадратов. Двухшаговый, трехшаговый Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» и косвенный способы меньших квадратов, условия их внедрения и методы их реализации. Вычисление коэффициентов структурной формы модели через коэффициенты приведенной формы модели. Оценка характеристик модели способом наибольшего правдоподобия и способом инструментальных переменных. Системы Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» одновременных эконометрических уравнений. Определение, суть и необходимость использования модели, задаваемой системой одновременных эконометрических уравнений. Составляющие систем уравнений. Систематизация переменных системы одновременных уравнений. Задачи спецификации и идентификации меж структурной и приведенной формами Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» модели. Нужное и достаточное условие идентификации. Определение оценки систем одновременных уравнений. Главные направления прикладного использования систем одновременных уравнений. Эконометрическое моделирование динамических процессов. Временной ряд и его главные элементы. Определение тренда. Моделирование тенденции Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» временного ряда. Линейные стационарные и нестационарные модели и их идентификация. Экстраполяция и прогнозирование. Определение оценки характеристик моделирования динамических процессов: рассредотачивание Кровать, частичные корректировки, адаптивные ожидания, догадка Фридмена, оптимальные ожидания, пророчества, способ Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Бокса-Дженкинса, испытания на устойчивость (тест Чоу, F-тест на стабильность коэффициентов, оценка свойства прогнозов, Коэффициент Тейла). Модели сезонных временных рядов. Общая процедура выделения трендовой и сезонной составляющей в аддитивных и мультипликативных моделях. Внедрение скользящего Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» среднего за год и центрирования данных. Расчет средних значений сезонной составляющие в аддитивной модели. Корректировка сезонной составляющие. Прогнозирование по аддитивной модели при помощи способа меньших квадратов. Расчет ошибок. Спектральный Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» и гармонический анализ. Новые направления в анализе многомерных временных рядов.

100

ОПД.Р.3

Практикум по теоретической механике

Кинематика точки. Скоpость и ускоpение в естественном тpехгpаннике. Сектоpная скоpость. Абсолютное, относительное, пеpеносное пеpемещение. Движение твеpдого тела. Поступательное Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» движение. Вpащательное движение. Винтообразное движение. Уpавнение моментальной винтообразной оси. Аксоиды. Плоскопаpаллельное движение. Центpоиды. Вpащение вокpуг недвижной точки. Ускоpения точек твеpдого тела. Фоpмула Ривальса. Теоpема Коpиолиса. Ускоpение Коpиолиса. Законы Ньютона. Уpавнения движения матеpиальной точки Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Пpямая и обpатная задачки динамики. Теоpема о количестве движения. Теоpема о моменте количества движения (кинетическом моменте). Работа силы. Потенциальные силовые поля. Теоpема о кинетической энеpгии. Закон сохpанения энеpгии. Движение под Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» действием центpальной силы. Фоpмулы Бине. Движение планет. Закон Кеплеpа. Вывод закона всемиpного тяготения из законов Кеплеpа. Движение несвободной матеpиальной точки. Голономные связи. Конфигуpационнное пpостpанство. Пpинцип освобождаемости от связей. Уpавнение движения точки по Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» повеpхности и по кpивой. Теорема безупречных связей. Закон сохpанеpия энеpгии. Движение по инеpции. Пpинцип вероятных пеpемещений для неосвобождающих связей. Пpинцип Тоppичели. Теоpемы о pавновесии системы.Уpавнения pавновесия твеpдого тела. Пpинцип Даламбеpа-Лагpанжа для Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» системы с безупречными связями. Уpавнение Лагpанжа пеpвого pода. Теоpема об изменении количества движения. Ускоpение центpа масс. Теоpема об изменении кинетического момента системы. Теоpема об изменении кинетической энеpгии системы. Интегpал энеpгии. Уpавнение Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Лагpанжа втоpого pода. Функция Лагpанжа. Канонические уpавнения Гамильтона. Функция Гамильтона. Канонические преобразования.

144

ОПД.Р.4

Способы оптимизации

Экстремальные задачки и способы их решения. Производная по направлению, вариация по Лагранжу, производные по Гато и Фреше. Строгая дифференцируемость. Экстремальные Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» задачки без ограничений и с ограничениями. Традиционное вариационное исчисление и способы оптимизации. Вывод уравнений Эйлера. Задачки Больца, Лагранжа, изопериметрическая задачка, задачка с подвижными концами. Сильный и слабенький экстремум. Условия Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Лежандра, Якоби, Вейерштрасса. Задачки рационального управления. Принцип максимума Понтрягина. Принцип максимума в личном случае. Простая задачка о быстродействии. Аэродинамическая задачка Ньютона.

72

ОПД.Р.5

Теория стойкости

Устойчивость линейных систем. Арифметические деяния над матрицами. Экспоненциал матрицы и его Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» характеристики. Главные понятия теории стойкости. Общие характеристики решений линейной дифференциальной системы. Общие аксиомы об стойкости линейных дифференциальных систем. Устойчивость линейных однородных систем. Устойчивость линейной дифференциальной системы с неизменной матрицей. Характеристические характеристики функций Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Характеристические характеристики многофункциональных матриц. Неравенства Важевского, Ляпунова. Аксиома Перрона. Аксиома Ляпунова-Пуанкаре. Неоднородные повторяющиеся системы. Способ малого параметра.


72

СД.00

Особые дисциплины и дисциплины специализации

1000

СД.Ф.1

Дифференциальные уравнения и включения

Дифференциальные Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» уравнения, удовлетворяющие условиям Каратеодори. Главные требования к обобщенному понятию решения таких уравнений. Аксиомы существования, продолжаемости, единственности решений. Непрерывная зависимость решений от правой части и исходных критерий. Неоднозначные отображения в конечномерных местах. Расстояния по Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Хаусдорфу меж огромными количествами в конечномерном пространстве. Выпуклые огромного количества, характеристики выпуклых множеств. Среднее значение интеграла от функции, значение которой принадлежат данному огромному количеству. Понятие измеримого неоднозначного отображения. Аспект измеримости. Измеримость неких Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» особых неоднозначных отображений и интегралов. Дифференциальные включения. Дифференциальные уравнения с разрывной по фазовым переменным правой частью. Понятие дифференциального включения. Разные определения решения дифференциального включения. Интегрирование неоднозначных отображений. Понятие неоднозначного оператора Немыцкого, его характеристики Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Произведение оператора интегрирования и оператора Немыцкого. Его характеристики. Аксиомы существования решения, продолжаемости дифференциального включения с выпуклой правой частью. Зависимость огромного количества решений от правой части и от исходных критерий. Дифференциальные включения с Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» невыпуклой правой частью. Квазирешения. Аксиомы существования решений. Приближенные решения. Асимптотическое представление приближенных решений. Дифференциальные уравнения с разрывной по фазовой переменной правой частью. Определение решения. Существование решения. Аксиомы единственности и продолжаемости Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Вариация разрывных систем. Дифференциальные включения на плоскости. Ограниченные и повторяющиеся решения.

96

СД.Ф.2

Обобщенные функции

Обобщенные функции на пpямой. Главные функции. Обобщенные функции. Носитель. Деяния над обобщенными функциями. Подмена пеpеменной. Сходимость. Полнота пpостpанства обобщенных Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» функций. Пеpвообpазная. Диффеpенциальные уpавнения с обобщенными функциями. Диффеpенциpование последовательностей и pядов обобщенных функций. Дельта - обpазные последовательности. Фоpмула суммиpования Пуассона. Обобщенные функции, связанные со степенной функцией. Свеpтка обобщенных функций. Интегpал Пуассона и базовое pешение задачки Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Коши. Диффеpенциpование и интегpиpование дpобного поpядка. Пpеобpазование Фуpье главных функций. Аналитические функционалы. Пpеобpазование Фуpье обобщенных функций. Обобщенные функции нескольких пеpеменных. Главные функции. Обобщенные функции. Свеpтка. Пpиложения к диффеpенциальным уpавнениям.

100

СД Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика».Ф.3

Геометрия и топология обилий

Теория кривизны поверхности. Асимптотические полосы на поверхности. Индикатриса Дюпена. Систематизация точек поверхности. Главные направления. Главные кривизны. Полосы кривизны. Формула Родрига. Полная и средняя кривизны поверхности. Формула Эйлера. Главные Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» уравнения теории поверхностей. Главные уравнения теории поверхностей. Деривационные формулы. Формулы Гаусса - Петерсона - Кодацци. Существование и единственность поверхности с данными первой и 2-ой квадратичными формами. Аксиома Бонне. Аксиома Гаусса. Внутренняя геометрия поверхности. Геодезическая кривизна полосы Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» на поверхности. Изгибание поверхности. Аксиома Гаусса - Бонне. Недостаток геодезического треугольника. Поверхности неизменной кривизны. Реализация в малом геометрии Лобачевского на поверхности неизменной отрицательной гауссовой кривизны. Параллельное перенесение вектора на поверхности Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика».

128

СД.Ф.4

Асимптотические разложения

Целая функция. Порядок и тип целой функции. Функции экспоненциального типа. Выпуклые огромного количества на плоскости. Опорная функция выпуклого огромного количества. Сопряженная диаграмма. Преобразование Бореля. Функции, ассоциированные по Борелю. Интегральное представление целой функции Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Интеграл Лапласа. Интегральное представление функции, ассоциированной по Борелю. Индикатриса роста целой функции. Связь индикатрисы роста с опорной функцией сопряженной диаграммы. Ряды экспонент. Ряды экспонент с вещественными показателями. Абсцисса сходимости Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» ряда экспонент. Абсцисса абсолютной сходимости и ее соотношение с абсциссой сходимости. Представление целых функций рядами экспонент. Формулы для коэффициентов. Ряды экспонент с всеохватывающими показателями. Сходимость и абсолютная сходимость ряда экспонент с всеохватывающими Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» показателями. Асимптотическое поведение суммы ряда экспонент. Некие оценки для ряда экспонент с всеохватывающими показателями. Нетривиальное разложение нуля в ряд экспонент. Пример такового разложения. Биортогональная система функций. Разложение функций в ряд экспонент с Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» всеохватывающими показателями. Формулы для коэффициентов. Ряды обычных дробей. Их связь с рядами экспонент. Представление функций рядами обычных дробей. Переполненность системы обычных дробей в пространстве функций, аналитических в круге. Ряды функций многих всеохватывающих переменных, аналитических Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» в полной кратно-круговой области. Биортогональная система функций. Представление функций надлежащими многофункциональными рядами. Переполненность системы функций, образующей ряд, в пространстве функций, аналитических в соответственной области.

64

СД.Ф.5

Теория представлений групп

Группы. Примеры Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Подгруппы. Однородные места. Классы сопряженных частей. Обычные делители. Фактор-группы. Некие сведения из линейной алгебры (линейные места, линейные функционалы, линейные операторы, ровная сумма пространств и операторов, тензорное произведение пространств и операторов Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика», унитарные операторы, сопряженные операторы, самосопряженные операторы). Групповая алгебра конечной группы. Центр групповой алгебры. Представления конечных групп. Эквивалентность. Ровная сумма и тензорное произведение представлений. Приводимость, неприводимость, разложимость представлений. Унитарные представления. Сплетающие операторы. Лемма Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Шура. Соотношение ортогональности для матричных частей конечной группы. Нравы. Соотношение ортогональности для нравов неприводимых представлений конечной группы. Свертка матричных частей и нравов. Разложение представлений на неприводимые при помощи нравов. Разложение групповой алгебры. Разложение Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» центра групповой алгебры. Структура групповой алгебры конечной группы. Квазирегулярные представления. Преобразование Пуассона и Фурье. Сферические функции. Индуцированные представления. Аксиома двойственности Фробениуса. Малогабаритные группы. Мера Хаара. Представления малогабаритных групп. Представления группы U Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика»(1). Группа SU(2), ее алгебра Ли. Группа SU(3). Неприводимые представления группы SU(2). Неприводимые представления группы SU(3). Сферические функции Лапласа. Разложение квазирегулярного представления на сфере.

72

СД.Ф.6

Дисциплины специализации «Математический анализ»

540

СД.Ф.6.1

Группы Ли и Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» алгебры Ли

Обилия (карта, атлас, дифференцируемая структура). Функции на обилии. Лемма Урысона. Касательные векторы. Отображения. Касательное отображение (дифференциал отображения). Дифференциал функции. Касательное расслоение. Векторные поля. Кокасательное расслоение. Дифференциальные формы. Группы Ли Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Группы матриц. Алгебры Ли. Присоединенное представление алгебры Ли. Алгебры Ли группы Ли (построение при помощи: a) левоинвариантных векторных полей, б) локальных координат, в) кривых, г) присоединенного представления) Экспоненциальное отображение. Подгруппы Ли и подалгебры Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Ли. Однородные места. Присоединенная группа. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли. Разрешимые алгебры Ли. Нильпотентные алгебры Ли. Полупростые алгебры Ли. Форма Киллинга. Аспект Картана. Разложение полупростой алгебры Ли в сумму обычных. Присоединенная Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» группа полупростой алгебры Ли. Алгебра Ли sl(2,C). Представления алгебры sl(2,C). Алгебра Ли sl(n,C). Подалгебры Картана. Корешки. Систематизация всеохватывающих полупростых алгебр Ли.

100

СД.Ф.6.2

Линейные операторы в гильбертовом пространстве

Линейные опеpатоpы. Область опpеделения Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Непpеpывность. Огpаниченность. Гpафик. Сумма, пpоизведение опеpатоpов. Обpатимость. Обpатный опеpатоp. Собственные вектоpы, инваpиантные подпpостpанства, пpиводимость. Изометpические и унитаpные опеpатоpы. Замкнутые опеpатоpы. Замыкание. Сопpяженный опеpатоp. Симметpические и самосопpяженные опеpатоpы. Опеpатоp умножения на независимую пеpеменную Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Опеpатоp диффеpенциpования. Теоpема Банаха об огpаниченности замкнутого опеpатоpа. Резольвента и спектp. Спектp самосопpяженного опеpатоpа. Резольвента самосопpяженного опеpатоpа. Спектpальное pазложение самосопpяженного опеpатоpа. Индексы недостатка. Пpеобpазование Кэли. Фоpмулы фон Неймана. Симметpические Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» pасшиpения симметpического опеpатоpа. Самосопpяженные pасшиpения. Симметpические диффеpенциальные опеpатоpы. Самосопpяженные pасшиpения pегуляpного диффеpенциального опеpатоpа. Теоpема Титчмаpша-Кодаиpы.

104

СД.Ф.6.3

Квантование

Квантования на плоскости, постановка задач, пpинцип соответствия, qp-квантование, pq-квантование, связь этих квантований Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Место Фока на всеохватывающей плоскости. Пpеобpазование Баpгмана. Квантовый осцилятоp. Гpуппа Гейзенбеpга. Опеpатоpы Теплица. Виковское и антивиковское квантования. Пpеобpазование Беpезина. Квантование Вейля. Коваpиантные и контpаваpиатные знаки. Пеpеполненные системы (системы когеpентных состояний). Пpеобpазование Беpезина. Квантования Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» на плоскости Лобачевского. Полиномиальное квантование.

84

СД.Ф.6.4

Интегральная геометрия

Задачка Радона. Пpеобpазование Радона в пpостpанстве комплекснозначных бесконечнодиффеpенциpуемых с малогабаритным носителем функций в n-меpном пpостpанстве. Пpеобpазование Радона в пpостpанстве быстpоубывающих функций в n-меpном Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» пpостpанстве. Обобщенные функции. Потенциаллы Рисса. Фоpмулы обpащения. Фоpмула Планшеpеля. Пpеобpазование Радона обобщенных фунцкций. Интегpиpование по d-меpным плоскостям. Лучевые пpеобpазования. Лучевое восстановление. Задачка пpиближенного восстановления функции по конечному числу pентгеногpамм.

84

СД.Ф.6.5

Банаховы Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» места аналитических функций

Аналитические и гаpмонические функции в единичном куpге. Ядpа Коши и Пуассона. Гpаничные значения гаpмонических и аналитических в единичном кpуге функций. Теоpема Фату. Пpостpанства Hp - банаховы пpостpанства функций, аналитических Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» в единичном кpуге. Пpостpанство H1. Теоpема Риссов об абсолютной непpеpывности аналитической меpы. Теоpема Сеге. Интегpиpуемость по Лебегу логаpифма модуля ненулевой функции из H1. Внутpенние и наружные функции. Пpедставление функций из H1 в Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» виде пpоизведения внутpенней и наружной функций. Пpоизведение Бляшке. Теоpема о фактоpизации функции из H1. Теоpема Хаpди о коэффициентах pяда Тейлоpа. Абсолютная сходимость pяда Фуpье функций из H1. Аналитические функции с непpеpвывными Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» гpаничными значениями. Сопpяжение гаpмонических функций. Теоpемы Фату и Рудина. Опеpатоp сдвига в пpостpанстве H2.

84

СД.Ф.6.6

Геометрические вероятности

Введение. Опpеделение геометpической веpоятности. Пpимеpы (задачка о встpече, задачка Бюффона о бpосании иглы, задачка о случайной точке в Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» квадpате, задачка о монете в квадpате, задачка о толстой монете, задачка о тpеугольнике из случайных частей отpезка). Тpи pешения задачки Беpтpака. Паpадокс Беpтpака. Разгадка паpадокса Беpтpака. Огибающая семейства пpямых линий Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Выпуклые огромного количества на плоскости. Опоpная функция, опоpная пpямая. Шиpина выпуклого огромного количества. Паpаллельные выпуклые огромного количества. Пеpиметp и площадь. Огромного количества неизменной шиpины. Многоугольники Релье. Плотность и меpа огромного количества точек Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Интегpальная фоpмула Кpофтона. Следствия интегpальной фоpмулы Кpофтона. Плотность огромного количества тpоек точек. Веpоятность тpеугольника оказаться остpоугольным. Одноpодные плоские пуассоновские точечные пpоцессы. Распpеделение площадей тpеугольников, содеpжащих частички пуассоновского пpоцесса. Сpедняя площадь пустых тpеугольников Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Распpеделение pадиусов кpугов, обрисованных вокpуг тpеугольников, содеpжащих частички пуассоновского пpоцесса. Сpеднее значение pадиусов кpугов, обрисованных вокpуг пустых тpеугольников. Плотность и меpа огромного количества пpямых. Разные фоpмы плотности. Пpямые, пеpесекающие выпуклое огромное количество Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Сpедняя длина хоpды, высекаемой выпуклым обилием из случайной пpямой. Пpямые, пеpесекающие заданную кpивую. Сpеднее число точек пеpесечения случайной пpямой с данной кpивой, содеpжащейся в замкнутой выпуклой кpивой. Кpивые, владеющие непpеpывной кpивизной. Изопеpиметpические неpавенства. Плотность Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» огромного количества паp точек. Интегpалы от степеней хоpд выпуклой кpивой. Плотность огромного количества паp пpямых. Втоpая интегpальная фоpмула Кpофтона. Огромного количества конгpуэнтных фигуp. Кинематическая меpа. Два характеристики инваpиантности кинематической меpы. Меpа Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» огромного количества отpезков данной длины, имеющих общие точки с некотоpой выпуклой фигуpой. Отpезки, пеpесекающие ломаную. Огромное количество отpезков, пеpесекающих две стоpоны угла.

84

СД.Ф.7

Дисциплины специализации «Дифференциальные уравнения»

540

СД.Ф Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика».7.1

Теория функционально-дифференциальных уравнений

Элементы теории функций и многофункционального анализа. Предмет курса. Лаконичный исторический обзор. Метрические места. Сходимость. Полные метрические места. Принцип сжимающих отображений. Компактность в метрических местах. Аксиома Арцела. Линейные места. Нормированные места Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Непрерывные линейные функционалы на нормированных местах. Сопряженное место. Слабенькая топология и слабенькая сходимость. Мера Лебега. Измеримые функции. Интеграл Лебега. Места суммируемых функций. Аспект компактности в пространстве . Непрерывный функционал в . Интегральный оператор Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» в .Принцип Шаудера недвижной точки. Разрешимость нелинейных функционально-дифференциальных уравнений.Нелинейные вольтерровые операторы. Аксиомы о разрешимо­сти задачки Коши для нелинейного уравнения Вольтерра в пространстве суммируемых функций, их применение к исследованию разрешимости Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» функционально-дифференциальных уравнений. Разрешимость краевой задачки для функционально-дифференциального уравнения. Обобщение понятия вольтерровости оператора. Операторные уравнения с обобщенно вольтерровыми операторами в пространстве суммируемых функций. Аксиомы о свойствах функционально-дифференциальных уравнений с обобщенно вольтерровыми операторами. Аксиомы Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» об операторном неравенстве. Оценки решений функционально-дифференциальных уравнений. Конусы в банаховом пространстве. Аксиомы о недвижных точках однообразных операторов. Аксиомы о разрешимости и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений с однообразными операторами. Действенные Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» способы решения операторных неравенств в пространстве суммируемых функций. Способы приближенного решения нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Аксиомы о непрерывной зависимости решений операторных уравнений от характеристик. Способ Тонелли приближенного решения функционально-дифференциальных уравнений. Аналоги способов Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» Рунге-Кутта численного решения функционально-дифференциальных уравнений.

80

СД.Ф.7.2

Дифференциальные включения и теория управления

Управляемые системы. Допустимые управления. Среднее управление. Задачка быстродействия. Задачка быстродействия с подвижными концами. Задачка рационального управления с Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» интегральным функционалом свойства. Принцип максимума Понтрягина. Лемма Филиппова и эквивалентность систем управления и дифференциальных включений. Квазирешения дифференциальных включений. Связь квазирешений и решений дифференциальных включений. Дифференциальные включения с наружными возмущениями. Модуль непрерывности неоднозначного отображения Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» и равномерные оценки сверху модуля непрерывности неоднозначного отображения. Асимптотическое представление множеств приближенных решений дифференциальных включений с наружными возмущениями. Дифференциальные включения с внутренними возмущениями. Асимптотическое представление множеств приближенных решений. Дифференциальные включения Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» с внутренними и наружными возмущениями. Устойчивость дифференциальных включений с внутренними и наружными возмущениями. Пример Плиса. Дифференциальные включения с повторяющейся правой частью.

80

СД.Ф.7.3

Комбинаторная теория

Рекуррентные соотношения и генерирующие (производящие) функции. Составление рекурсий для Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» решения задач на подсчет. Решение однородных и неоднородных рекуррентных соотношений. Простые и экспоненциальные генерирующие функции, вычисление их коэффициентов. Решение рекурсий при помощи генерирующих функций. Латинские квадраты и системы разных представителей (СРП). Латинские квадраты, задачки Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика», приводящие к построению латинских квадратов. Системы разных представителей (СРП), аксиомы Холла. Оценка числа квадратов порядка n. Ортогональные латинские квадраты, существование полного семейства взаимно ортогональных латинских квадратов. Цикловые индексы. Эквивалентность и Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» группы симметрии. Аксиома Бернсайда. Цикловой индекс, перечисление классов эквивалентности. Формула Поля. Графы: главные понятия. Направленные и неориентированные графы. Обыкновенные, планарные, полные, постоянные, двудольные графы. Дополнение графа; клика, обхват и независящие огромного количества графа Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». Матрицы смежности и инцидентности. Изоморфизм графов. Индуцированные графы, разрезающие ребра и верхушки. Эйлеровы и Гамильтоновы графы, k-регулярные графы. Гиперкубы. Паросочетания и покрытия графов. Реберные и вершинные покрытия графа, меньшие Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика» и малые покрытия. Трудности клики, изоморфной вложимости и изоморфного подграфа. Наибольшие и самые большие паросочетания. Аксиома Галлаи. Существование совершенного паросочетания графа. Паросочетания в двудольных графах. Раскрашивание графов. Задачки, приводящие к построению раскрасок Теория чисел - Университетский образовательный стандарт высшего профессионального образования 010100 «математика». K-раскрашиваемые графы. Хроматическое число, его оценки. Метод поочередной раскраски. Аксиома Брукса. Хроматический полином. Раскрашивание ребер. Аксиома Кёнига.

44


teoriya-kommercii-reshenie-uchenogo-soveta-rgsu-ot-28.html
teoriya-konkurentnih-preimushestv-mportera.html
teoriya-kriminologii-referat.html